Pembuktian Deduktif Dalam Matematika

Matematika adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan yang sering diistilahkan sebagai Ratu sekaligus pelayan dari ilmu-ilmu pengetahuan yang lain. Matematika sebagai ratunya ilmu karena berkembang secara mandir tidak tergantung pada perkembangan ilmu pengetahuan yang lain, sedangkan matematika juga merupakan pelayan dari ilmu pengetahuan lain karena hampir semua ilmu pengetahuan dapat berkembang dengan memanfaatkan teori dan rumus-rumus dalam matematika.

Sebagai sebuah ilmu pengetahuan dalam perkembangannya matematika memerlukan pembuktian untuk kebenaran-kebenaran yang harus diakui secara umum. Berbeda dengan ilmu pengetahuan lain, matematika menggunakan prinsip pembuktian deduktif sedangkan ilmu pengetahuan lain menggunakan pembuktian induktif atau eksperimen. Pembuktian induktif atau eksperimen berangkat dari kebenaran yang khusus kemudian diterapkan sebagai kebenaran yang umum. Menurut Clara Ika Sari dalam bukunya Pemecahan Masalah dalam Matematika (Konsorsium Program PJJ S1 PGSD) menyatakan bahwa "Penalaran induktif adalah suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan atau membuat pernyataan baru yang bersifat umum berdasar pada beberapa pernyataan khusus yang diketahui atau dianggap benar." Secara sederhana dapat dinyatakan bahwa penalaran secara Induktif adalah suatu kegiatan proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan yang bersifat umum berdasarkan pada beberapa pernyataan/kenyataan khusus yang diketahui benar. Sehingga kesimpulan sebagai hasil dari penalaran Indiktif tidak mungkin mengandung nilai kepastian yang mutlak, karena dalam hal ini terdapat aspek probabilitas. Misalnya : dalam ilmu biologi orang mengadakan penelitian berupa pengamatan bahwa hewan menyusui tidak bertelor (beranak) (kebenaran khusus hanya berdasarkan penelitian pada sampel) maka kemudian dibuat kesimpulan bahwa setiap binatang menyusui selalu beranak (diberlakukan sebagai kebenaran umum). Kebenaran ini dianggap benar sampai ada penelitian baru yang membuktikan berbeda.

Sedangkan dalam matematika kebenaran dibuktikan dengan metode deduktif. Penalaran deduktif mendasarkan pada pernyataan-pernyataan yang sudah ada dan saling terkait. Pembuktian deduktif mendasarkan sebuah kebenaran jika berlaku secara umum maka pada keadaan khusus pasti kebenaran itu juga berlaku. Misalnya : jumlah dua bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan genap. Dibuktikan secara deduktif dengan melakukan pemisalan secara umum bahwa bilangan ganjil dapat dituliskan sebagai 2n + 1 untuk n bilangan asli. Maka 2 bilangan ganjil dijumlahkan menjadi (2n + 1)+(2n + 1) = (2n + 2n + 1 + 1) = 4n + 2 = 2(2n + 1) Karena 2n + 1 merupakan bilangan ganjil maka 2 kali bilangan ganjil pasti akan menghasilkan bilangan genap, sehingga terbukti bahwa jumlah dari 2 bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan genap.

Posted By UnknownSenin, November 11, 2013

0

Continue Reading

Dasar Himpunan {5}

7. Operasi Himpunan

a. Irisan dua himpunan

Irisan dua himpunan A dan B adalah sebuah himpunan baru yang anggota-anggotanya merupakan anggota A yang juga menjadi anggota B sekaligus. Contoh : A = {1,2,3,4,5} dan B = {2,3,5,7,11} maka irisan dari A dan B adalah {2,3,5}; Jika dituliskan dengan notasi adalah :

jika digambarkan (berwarna kuning) :

b. Gabungan dua himpunan

Gabungan himpunan A dengan himpunan B adalah sebuah himpunan baru yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B. Catatan setiap anggota himpunan hanya boleh di tuliskan satu kali saja. Contoh : A={1,2,3,4,5} dan B = {2,3,5,7} maka Gabungan A dan B adalah perhatikan 2,3, dan 5 walaupun ada di A maupun B tetapi pada $latex \displaystyle {\color{white} A \cup B} hanya di tuliskan satu kali. Jika digambarkan (warna kuning) :

c. Selisih dua himpunan

Selisih antara himpunan A dan B (ditulis A - B atau A\B) adalah semua anggota A yang tidak menjadi anggota B. Contoh : A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7} maka A - B = {1,4} sedangkan B - A = {7}, jika digambarkan :

d. Komplemen

Komplemen himpunan A (ditulis A' atau Ac) dengan semesta himpunan S adalah semua anggota S yang tidak menjadi anggota A. Misalnya A = {2,3,5,7} sedangkan S = {1,2,3,4,..., 10} maka komplemen A = A' = Ac ={1,4,6,8,9,10}

Posted By UnknownSenin, November 11, 2013

0

Continue Reading

Dasar Himpunan {4}

5. Hubungan antara dua himpunan

Siswa kelas 7A mengadakan study tour ke kebun binatang, setiap siswa diberi tugas untuk menuliskan kumpulan hewan yang termasuk dalam kelompok hewan herbivora (hewan pemakan tumbuhan), carnivora (hewan pemakan daging/hewan lain). Hasil dari tugas itu yang dibuat oleh salah seorang siswa adalah sebagai berikut :

Herbivora - Carnivora

Sapi - Harimau

Ayam - Kucing

Gajah - Singa

Kuda - Ayam

Jerapah - Burung Gagak

Burung - Gagak Anjing

Jika kumpulan hewan tersebut kita anggap sebagai himpunan maka terlihat bahwa ada beberapa anggota himpunan hewan Herbivora yang menjadi anggota juga pada himpunan hewan carnivora, hal ini dikarenakan ada beberapa hewan yang suka memakan tumbuhan/buah-buahan dan suka juga memakan hewan lain. Dalam keadaan seperti ini himpunan hewan Herbivora dan himpunan hewan carnivora disebut dua himpunan yang berpotongan. Jika himpunan herbivora digambarkan dengan lingkaran berwarna hijau, himpunan carnivora digambarkan dengan lingkaran berwarna merah, maka terdapat sebagian lingkaran hijau dan merah yang menyatu menjadi warna campuran antara merah dan hijau (kuning)

Dalam pelajaran biologi kelompok/himpunan hewan yang suka memakan tumbuhan sekaligus daging/hewan lain kemudian diberi nama Omnivora (hewan pemakan tumbuhan dan daging). Sehingga anggota dari himpunan hewan herbivora hanya hewan pemakan tumbuhan saja, himpunan hewan carnivora hanya hewan pemakan daging saja, dan himpunan hewan omnivora (hewan pemakan keduanya) menjadi sebagai berikut : Herbivora={Sapi, Gajah, Kuda, Jerapah}, Carnivora={Harimau, Kucing, Singa, Anjing} dan Omnivora={ayam,burung gagak}, ketiga himpunan itu di sebut himpunan-himpunan yang saling asing, karena tidak ada hewan yang menjadi anggota ketiga himpunan itu sekaligus. Jika digambarkan dengan lingkaran sebagai berikut :

6. Dua himpunan sama dan dua himpunan ekuivalen

Dua himpunan dikatakan sama jika semua anggota dari kedua himpunan itu sama persis, walaupun urutan penulisannya tidak harus sama. Contoh : 

A={a,b,c,d} sama dengan B={b,d,c,a}

R = {siswa yang harus mengikuti Remedial Matematika} dan S = {siswa yang mendapat nilai Matematika di bawah KKM}

Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika banyaknya anggota dari kedua himpunan sama. Contoh : 

P = {1,2,3,4} dan Q={a,b,c,d} maka himpunan P ekuivalen dengan himpunan Q karena kedua himpunan mempunyai banyak anggota yang sama yaitu 4 anggota.

A={negara-negara ASEAN} ekuivalen dengan B={Ibukota negara-negara ASEAN}

Soal Latihan !

1. Selidiki manakah diantara pasangan himpunan berikut yang merupakan pasangan himpunan saling lepas atau pasangan himpunan yang berpotongan :

P={1,3,5,7} dan Q={2,4,6,8,10}

A = {5 bilangan asli yang pertama} dan B = {5 bilangan prima yang pertama}

dan

Posted By UnknownSenin, November 11, 2013

0

Continue Reading

Dasar Himpunan {3}

3. Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga

Jika kita dapat menentukan banyaknya anggota suatu himpunan maka himpunan itu disebuthimpunan berhingga, sebaliknya jika kita tidak dapat menentukan banyaknya anggota suatu himpunan maka himpunan itu disebut himpunan tak berhingga. Contoh :

A = {1,3,5,7,9} himpunan A berhingga.

B = {1,3,5,7,...} himpunan tak berhingga

C = { ..., -4,-3,-2,-1} himpunan tak berhingga

Ciri khusus : himpunan berhingga dapat kita tuliskan daftar anggotanya mulai dari awal hingga akhir, sedangkan himpunan tak berhingga awal, atau akhir dari himpunan itu tidak diketahui sehingga cukup dituliskan dengan tiga titik sebagai tanda anggota awal atau akhir dari himpunan itu tak diketahui.

4. Himpunan bagian

Jika A adalah himpunan siswa SMP Negeri Surabaya  maka anggotanya adalah semua siswa yang bersekolah di SMP Negeri Surabaya. Kita dapat membuat himpunan lain yang anggota-anggotanya merupakan anggota A misalnya himpunan B adalah himpunan siswa kelas 7 SMP Negeri Surabaya. Setiap anggota B tentu juga menjadi anggota A sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan B menjadi bagian dari himpunan A.

Definisi : Jika setiap anggota B menjadi anggota A maka dikatakan himpunan B merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan A dan dapat dituliskan : .

contoh : P = {1,2,3,4,5,6,7}, Q = {1,3,5,7,9} R = {2,4,6} maka dan

Catatan :

1. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.
2. Banyaknya semua himpunan bagian yang mungkin dari himpunan P adalah 2n(P)

Posted By UnknownSenin, November 11, 2013

1

Continue Reading

Menentukan Keanggotaan Sebuah Himpunan

Seperti sudah dijelaskan pada artikel sebelumnya (Dasar-dasar himpunan) bahwa sebuah himpunan adalah sekelompok objek (benda hidup/mati dan konsep abstrak misalnya angka, huruf dll) yang dibatasi dengan jelas tanpa menggunakan kata-kata sifat yang menyebabkan ketidakpastian dalam pengertiannya. Berdasarkan pembatasan tersebut kita kemudian dapat menentukan apakah sebuah objek termasuk anggota dari himpunan itu atau bukan anggota himpunan itu. Setiap objek yang merupakan anggota sebuah himpunan disebut elemen dari himpunan tersebut dan diberi simbol , sedangkan objek yang bukan anggota diberi simbol  .

Kita ambil contoh misalnya A adalah kumpulan bilangan asli kurang dari 5, maka dapat kita nyatakan bahwa 1 merupakan anggota/elemen dari himpunan A dan dapat kita tulis , sedangkan 7 bukan anggota/bukan elemen dari A dan dapat kita tuliskan . Himpunan A pada contoh tersebut dapat dinyatakan atau dituliskan dengan 3 cara yaitu :

1. Dengan menuliskan daftar anggota-anggota himpunan A ==> A = {1,2,3,4}
2. Dengan menuliskan batasan/syarat keanggotaannya dengan kata-kata ==> A = {bilangan asli kurang dari 5}
3. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan, yaitu mengikuti aturan penulisan sebuah himpunan secara lengkap ==>. Cara penulisan himpunan menggunakan notasi pembentuk himpunan memuat 3 komponen utama yaitu : 

Nama himpunan (pada contoh diatas himpunan diberi nama A) dan variabel yang mewakili anggota himpunan (anggota himpunan A diwakili oleh variabel x) ==> A = {x| ....................}

syarat keanggotaan himpunan itu (pada contoh syaratnya anggota himpunan A adalah kurang dari 5) ==> x < 5

himpunan semesta dari himpunan itu (himpunan semesta dari himpunan A adalah himpunan bilangan asli) ==> Sedangkan banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A). Contoh misalnya A={a,b,c,d} maka n(A) = 4, B={1,a,2,i,3,u,4,e,5,o} ==> n(B) = 10.

Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, dan dituliskan dengan menggunakan simbul { } atau . Contoh dari himpunan kosong adalah himpunan nama hari yang dimulai dengan huruf A, himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2, himpunan ikan berkaki empat, dan lain-lain.

Jika P = {0} maka P bukan merupakan himpunan kosong, karena P mempunyai anggota yaitu bilangan 0 (bilangan nol) jadi banyaknya anggota P adalah 1 ==> n(P) = 1.

Soal pemantapan :

Budi mempunyai sebuah tas sekolah yang berisi alat-alat tulis menulis, jika kumpulan alat tulis Budi dianggap sebagai sebuah himpunan tuliskan masing-masing 2 benda yang mungkin menjadi anggota dan bukan anggota dari himpunan alat tulis Budi tersebut!

Himpunan A adalah himpunan bilangan asli lebih dari 2 dan kurang dari 8, manakah diantara pernyataan berikut ini yang benar? 

5 A

8 A

2 A

9 A

1 A

Tuliskan daftar anggota dari masing-masing himpunan berikut :

P = {bilangan prima kurang dari 13}

Q = {x| 2 < x 9 , x bilangan asli}

R = {a| a > -5 , a bilangan bulat}

Sajikan himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan :

C = {1,3,5,7}

D = {1,2,3,6}

E = {1,4,9,16}

Posted By UnknownSenin, November 11, 2013

0

Continue Reading

Dasar-Dasar Himpunan

Dalam kehidupan sehari-hari kita dapat menemukan berbagai macam obyek yang berbeda-beda. Hewan, benda, barang-barang kebutuhan dan lain-lain. Semakin banyak jenisnya maka akan membuat kita lebih sulit untuk menemukan sebuah obyek diantara berbagai obyek tersebut. Oleh karena itu kita biasa mengumpulkan obyek/benda-benda yang sejenis dalam satu kelompok agar obyek/benda tersebut lebih mudah untuk ditemukan. Misalnya ibu mengumpulkan peralatan memasaknya di ruang dapur, ayah mengumpulkan peralatan bengkel di garasi, adik mengumpulkan benda-benda mainannya di sebuah kotak mainan dan lain-lain. Benda-benda tersebut dikumpulkan berdasarkan sifat-sifat tertentu, sehingga setiap orang dapat menemukan setiap benda pada kumpulan yang sudah dibuat.

Kumpulan dari obyek/benda yang mempunyai sifat yang sama disebut Himpunan, sehingga himpunan memerlukan definisi yang jelas agar setiap orang dapat membedakan mana yang termasuk anggota atau bukan anggota dari himpunan itu. Kumpulan dari obyek yang didefinisikan dengan tidak jelas akan membuat setiap orang mempunyai persepsi/anggapan yang berbeda mengenai keanggotaan dari kumpulan tersebut, kumpulan yang demikian dianggap bukan sebagai sebuah himpunan. Misalnya kumpulan lukisan yang indah, bukan merupakan himpunan karena setiap orang tentu mempunyai nilai keindahan masing-masing sehingga sebuah lukisan tertentu dapat menjadi anggota atau bukan anggota kumpulan itu tergantung pada pendapat masing-masing orang. Tetapi sangat berbeda dengan kumpulan lukisan hewan berkaki empat, setiap orang akan dapat menentukan mana anggota dan mana bukan anggota dari kumpulan ini, sehingga kumpulan ini dapat disebut sebagai sebuah himpunan.

Untuk menuliskan sebuah himpunan terdapat kesepakatan bahwa nama sebuah himpunan dituliskan menggunakan huruf capital, kemudian anggota dari himpunan itu dituliskan diantara dua kurung kurawal. Misalnya himpunan A adalah himpunan hewan berkaki empat, maka himpunan itu dapat dituliskan menjadi : A={sapi,kerbau,kuda,kucing}

Dalam matematika, jika kita membicarakan obyek yang berupa bilangan akan menemukan berbagai macam bilangan sesuai dengan sifat-sifat bilangan itu sendiri. Himpunan bilangan yang mula-mula dipelajari oleh manusia adalah himpunan bilangan asli (Natural), yaitu himpunan bilangan yang dapat kita gunakan untuk membilang banyaknya benda nyata. Misalnya banyaknya apel dapat dituliskan menjadi lambang bilangan 1, 2, 3, 4, dst, sehingga himpunan bilangan asli (Natural) dapat dituliskan sebagai himpunan N = {1,2,3,4, …} titik-titik setelah angka 4 menandakan bahwa himpunan bilangan asli masih berlanjut sampai tak terhingga. Dalam perkembangan selanjutnya manusia menganggap bahwa bilangan asli tidak dapat memenuhi semua perhitungan yang dibutuhkan sehingga kemudian ditemukan himpunan bilangan cacah yaitu C = {0,1,2,3,4, …}, himpunan bilangan bulat Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Posted By UnknownSenin, November 11, 2013

0

Continue Reading